C'est apriori à la personne qui détient les comptes de payer les dettes de la succession. Dans votre cas, pour la totalité, puisqu'il n'y a pas de conjoint survivant, il s'agit de dette de la succession. Peu importe que le partage soit fait ou non.
Durant la période où la personne qui détient les comptes est le notaire, c'est au notaire. Il le fait souvent au moment où il rend les comptes aux héritiers, quand ceux ci ne s'éternisent pas à signer la déclaration de succession. Et cela, même si le partage ne se fait pas immédiatement. C'est alors le mandataire de l'indivision qui sera redevable des comptes.
Rien n'empêche un héritier, après en avoir prévenu le notaire, de payer une facture de la succession, qu'elle quelle soit. C'est alors un acte explicite d'acceptation de la succession. La personne qui agit ainsi devient mandataire de l'indivision au yeux de l'administration, lorsqu'elle acquite un impôt. Taxe foncière et d'habitation entre autres seront mis alors à son nom, juste à la fin de l'indivision.